Téori probabilitas. Kemungkinan acara, acara occasional (téori peluang). pembangunan sawijining lan kompatibel ing téori probabilitas

Iku dipercaya sing akeh wong iku bisa Count acara, kang kanggo sawetara ombone sengaja. Kanggo sijine iku ing tembung prasaja, iku nyata ngerti kang sisih kotak ing dadu bakal tiba wektu sabanjuré. Iku pitakonan iki takon loro ilmuwan gedhe, pondhasiné kanggo èlmu iki, ing teori saka kemungkinan, kemungkinan acara kang sinau cukup cetha.

generasi

Yen nyoba kanggo netepake konsep kuwi minangka téori probabilitas, kita njaluk ing ngisor iki: iki siji saka cabang matématika sing nyinaoni ngélingaken acara acak. Cetha, konsep iki tenan ora mbukak pet, dadi sampeyan perlu nimbang ing liyane rinci.

Aku seneng miwiti karo pendiri saka teori. Minangka iki kasebut ing ndhuwur, ana loro, sing Per Ferma lan Blez Paskal. Padha pisanan nyoba nggunakake rumus lan itungan matematik kanggo ngetung kasil saka acara. Umumé, ing rudiments ilmu iki malah ing abad tengahan. Nalika macem-macem tokoh pemikir lan ilmuwan wis nyoba kanggo njelasno game casino kayata roulette, craps, lan ing, mangkono kanggo netepake pola, lan persentasi mundhut saka nomer. Yayasan iki uga glethakaken ing abad kaping pitulas iku sarjana ingkang kasebat.

Kaping pisanan, sing karya ora bisa lantaran kanggo prestasi gedhe ing lapangan iki, sawise kabeh, apa padha, padha mung bukti empiris lan nyobi padha cetha tanpa nggunakake rumus. Swara wektu, nguripake kanggo entuk asil gedhe, kang muncul minangka asil pengamatan saka cast balung. Punika instrument iki wis mbantu kanggo nggawa rumus béda pisanan.

panyengkuyung

Ora kanggo sebutno wong kayata Christiaan Huygens, ing proses sinau ing subyek sing Bears jeneng "téori peluang" (kemungkinan acara highlights ing ilmu). wong iki menarik banget. Panjenenganipun, uga ilmuwan presented ndhuwur sing nampa ing wangun rumus matematika kanggo deduce pola acara acak. Punika ngremenaken sing wong durung bareng karo Pascal lan Fermat, sing kabeh karya ora tumpang tindih karo wong pikiran. Huygens asalé konsep dhasar teori probabilitas.

Lan kasunyatan menarik iku kang karya teka dawa sadurunge asil saka karya pionir, dadi pas, rong puluh taun sadurungé. Ana mung antarane konsep dikenali padha:

• minangka konsep kasempatan nilai kemungkinan;
• pengarepan kanggo cilik bedo;
• téoréma Saliyane lan pingan saka kamungkinan.

Uga, siji ora bisa lali Yakoba Bernulli, sing uga nyumbang kanggo sinau saka masalah. Liwat dhewe, ora saka wong tes sawijining, kang bisa kanggo nyedhiyani bukti hukum gedhe nomer. Ing siji, ilmuwan Poisson lan Laplace, sing makarya ing awal abad kaping, padha bisa mbuktekaken téoréma asli. Saka wektu kanggo njelasno kasalahan ing pengamatan kita miwiti nggunakake teori probabilitas. Partai sak ilmu iki ora bisa lan Rusian ilmuwan, rodo Markov, Chebyshev lan Dyapunov. Lagi adhedhasar karya rampung Sasrabahu gedhe, aman subyek minangka cabang matématika. We makarya tokoh iki ing pungkasan abad XIX, lan thanks kanggo sumbangan, wis buktiaken fénoména kayata:

• hukum gedhe nomer;
• Teori rentengan Markov;
• Ing tengah watesan Téoréma.

Dadi, ing sajarah lair èlmu lan karo kapribaden utama sing nyumbang kanggo iku, kabeh luwih utawa kurang cetha. Saiki iku wektu kanggo daging metu kabeh kanyatan.

konsep dhasar

Sadurunge ndemek hukum lan téoréma kudu sinau konsep dhasar teori probabilitas. Event iku occupies peran dominan. topik iki rodok ekstensif, nanging ora bakal bisa ngerti kabeh liyane tanpa iku.

Event ing téori peluang - iku Sembarang pesawat saka kasil eksperimen punika. Konsep saka kedadean iki ana ora cukup. Mangkono, ilmuwan Lotman makarya ing wilayah iki, wis ditulis ing kasus iki kita ngomong bab apa "kedaden, senajan ora bisa kelakon."

acara Random (téori peluang kebayar waé khusus kanggo wong-wong mau) - punika konsep sing melu pancen sembarang kedadean gadhah kamungkinan kedaden. Utawa, ing nalisir, skenario bisa kelakon ing kinerja saka macem-macem kahanan. Iku uga worth ngerti sing manggoni kabeh volume gejala kedadean acara mung acak. téori peluang tabet menawa kabeh kahanan bisa bola saya. Iku tumindak sing wis disebut "pengalaman" utawa "test."

acara wigati - iki kedadean sing satus persen ing test kelakon. Patut, acara mokal - iki soko sing ora kelakon.

Nggabungke pasangan Tindakan (konvènsi cilik A lan cilik B) iku kedadean sing dumadi bebarengan. Lagi diarani minangka AB.

Jumlah pasangan acara A lan B - C, ing tembung liyane, yen ing paling siji saka wong-wong mau bakal (A utawa B), sampeyan njaluk C. Rumus kedadean kasebut ditulis C = A + B.

pembangunan kompatibel ing téori probabilitas nggadahi sing loro kasus sing silih eksklusif. Ing wektu sing padha padha ing kasus ora bisa kelakon. acara-rosan téori peluang - iku antipode sing. Sarehne iku yen A kedaden, ora preclude C.

Ngawan acara (téori peluang nganggep wong gedhe ing rinci), sing gampang mangertos. Iku apik kanggo menehi hasil karo wong-wong mau ing comparison punika. Lagi meh pembangunan minangka kompatibel padha ing téori probabilitas. Nanging, prabédan sing sing siji saka majemuk saka gejala ing kasus kudu kelakon.

acara kamungkinan merata - sing tumindak, kamungkinan saka Ambalan padha. Kanggo nggawe iku cetha, sampeyan bisa mbayangno tossing duwit receh: kelangan salah sawijining pinggiran merata kemungkinan mundhut liyane.

iku luwih gampang kanggo nimbang conto saka favoring acara. Upaminipun ana episode ing episode A. Pisanan - muter die karo tekane saka nomer Ganjil, lan liya - munculé nomer lima ing dadu. Banjur dadi metu sing A iku V. senengi

acara Independent ing téori peluang sing digambaraken mung ing loro utawa luwih kesempatan lan ndherek sawijining tumindak saka liyane. Contone, A - ing mundhut buntut duwit receh tossing, lan B - dostavanie Jack mangrove. Padha duwe acara sawijining ing teori probabilitas. Saka wayahe dadi cetha.

acara gumantung ing téori peluang uga idin mung kanggo pesawat sing. Padha ora pati jelas katergantungan saka siji ing liyane, sing, kedadean bisa dumadi ing mung ing kasus nalika A wis wonten utawa, ing nalisir, ora kelakon nalika iku - ing kondisi utama kanggo B.

Kasil saka eksprimen acak dumadi saka komponèn siji - iku acara SD. téori peluang ngandika yen wis kedadean sing wis rampung mung sapisan.

dhasar rumus

Mangkono, ing ndhuwur padha dianggep konsep "acara", "kemungkinan teori", dhéfinisi tombol istilah èlmu iki uga diwenehi. Saiki iku wektu kanggo familiarize dhewe karo formula penting. ungkapan sing matématis dikonfirmasi kabeh utama konsep ing kuwi subyek angel minangka téori probabilitas. Kemungkinan acara lan main peran ageng.

Luwih apik kanggo miwiti karo formula dhasar saka Kombinatorika. Lan sadurunge miwiti mau, iku worth considering apa iku.

Kombinatorika - utamané cabang matématika, wis sinau nomer ageng saking wilangan bulat, lan macem-macem permutations loro nomer lan unsur sing, macem-macem data, etc., anjog kanggo sawetara kombinasi ... Saliyane téori probabilitas, industri iki penting kanggo statistik, ilmu komputer lan kriptografi.

Dadi saiki sampeyan bisa nerusake menyang presentation saka piyambak lan rumus definisi.

Kang pertama yaiku ekspresi kanggo nomer permutations, iku minangka nderek:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Rumus iki mung ing kasus yen unsur beda-beda mung ing urutan noto.

Saiki rumus seko, iku katon kaya iki bakal dianggep:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

expression iki ditrapake ora mung kanggo mung unsur saka panggonan seko supaya, nanging uga kanggo komposisi.

Rumus katelu saka Kombinatorika, lan terakhir, disebut rumus kanggo nomer kombinasi:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Combination disebut sampling, kang ora dhawuh, mungguh, lan Applied aturan iki.

Kanthi rumus ingkang Kombinatorika teka mangertos gampang, sampeyan saiki bisa pindhah menyang definisi klasik kemungkinan. Nanging katon kaya expression iki minangka nderek:

P (A) = m: n.

Ing rumus iki, m - nomer kahanan kondusif kanggo acara A, lan n - nomer merata lan rampung kabeh acara SD.

Ana akeh ungkapan ing artikel ora bakal dianggep apa-apa nanging kena pengaruh bakal gedhe-gedhe sing paling penting kayata, contone, kemungkinan acara Jumlah:

P (A + B) = P (A) + P (B) - Téoréma iki kanggo nambah mung acara silih eksklusif;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - nanging iki mung kanggo nambah kompatibel.

Kemungkinan saka karya acara:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - Téoréma iki kanggo acara sawijining;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - lan iki kanggo gumantung.

Rampung dhaftar rumus acara. Téori kemungkinan nyariosaken dhateng kita Téoréma Bayes, kang katon kaya iki:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Ing rumus iki, H _1, H _2, ..., H _n - yakuwi sawijining sèt komplit saka hipotesis.

Ing mandeg iki, aplikasi conto rumus saiki bakal dianggep kanggo tugas tartamtu saka laku.

conto

Yen sampeyan nliti apa cabang matématika, iku ora tanpa pakaryan lan solusi sampel. Lan téori probabilitas: acara, conto kene iku komponèn saka nyantosakaké petungan ngelmu.

Rumus kanggo nomer permutations

Contone, ing kelompok kertu duwe telung puluh SIM, miwiti karo siji nominal. Pitakonan sabanjure. Carane akeh cara kanggo melu ing kelompok supaya kertu karo nilai pasuryan siji lan loro padha ora dumunung ing jejere?

tugas disetel, saiki ayo kang nerusake kanggo menehi hasil karo. Pisanan Sampeyan kudu nemtokake nomer permutations saka telung puluh unsur, kanggo maksud iki kita njupuk formula ndhuwur, dadi P_30 = 30.

Adhedhasar aturan iki, kita ngerti carane akeh opsi ana kanggo lay mudhun kelompok kanthi nganggo cara akeh, nanging kita kudu dijupuk saka wong-wong mau sing kang kapisan lan kapindho kertu bakal sabanjuré. Kanggo nindakake iki, miwiti karo varian, nalika pisanan dumunung ing kaloro. Pranyata metu sing peta pisanan bisa njupuk puluh sangang panggonan - saka pisanan puluh sanga, lan kertu liya saka kaloro telung puluh ing, dadi puluh sangang kursi pasangan SIM. Ing siji, wong bisa njupuk wolulikur kursi, lan supaya sembarang. Sing, kanggo rearrangement saka wolulikur SIM wis puluh wolu opsi P_28 = 28!

Asil iku yen kita nimbang kaputusan, nalika kertu kapisan ing kesempatan ekstra keloro 29 ⋅ 28! = 29!

Nggunakake cara sing padha, sampeyan kudu ngetung sawetara opsi keluwih kanggo cilik nalika kertu kapisan wonten ing kaloro. Ugi pikantuk 29 ⋅ 28! = 29!

Saka iku nderek yen opsi ekstra 2 ⋅ 29!, Nalika liya perlu ngempalaken kelompok 30! - 2 ⋅ 29. Iku tetep mung kanggo ngetung.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Saiki kita kudu Multiply bebarengan kabeh nomer saka siji kanggo puluh sanga, lan banjur ing pungkasan kabeh pingan dening 28 Jawaban dijupuk 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 32

Conto solusi. Rumus kanggo nomer akomodasi

Ing masalah iki, sampeyan perlu kanggo mangerteni carane akeh ana cara kanggo nyelehake limalas volume ing beting, nanging ing kondisi sing mung telung puluh volume.

Ing tugas iki, kaputusan sethitik luwih gampang saka sadurunge. Nggunakake rumus wis dikenal, iku perlu kanggo ngetung nomer total telung puluh lokasi limalas volume.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Response, mungguh, bakal witjaksono 202 843 204 931 727 360 000.

Saiki njupuk tugas sing sethitik liyane angel. Sampeyan kudu ngerti carane akeh ana cara kanggo ngatur telung puluh loro buku ing rak-rak, karo Katetepan sing mung limalas volume bisa manggon ing beting padha.

Sadurunge awal kaputusan kaya kanggo njlentrehake sing sawetara saka masalah bisa ditanggulangi ing sawetara cara, lan ing iki ana loro, nanging ing loro siji lan rumus padha wis Applied.

Ing tugas iki, sampeyan bisa njupuk jawaban saka siji sadurunge, amarga ing kono kita wis diwilang nomer kaping sampeyan bisa isi metu beting limalas buku ing cara. Iku nguripake A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Ing resimen kapindho diwilang dening rumus reshuffle, amarga wis diselehake limalas buku, nalika seko limalas. Kita nggunakake rumus P_15 = 15.

Pranyata metu sing jumlah bakal A_30 ^ 15 ⋅ P_15 cara, nanging, ing Kajaba iku, ing produk kabeh nomer saka telung puluh kanggo nembelas bakal pingan dening prodhuk saka nomer saka siji kanggo limalas, ing mburi nguripake metu produk kabeh nomer saka siji kanggo telung puluh, sing jawaban 30!

Nanging masalah iki bisa ditanggulangi ing cara sing beda - luwih gampang. Kanggo nindakake iki, sampeyan bisa mbayangno sing ana siji beting telung puluh buku. Kabeh mau diselehake ing bidang iki, nanging amarga kondisi mbutuhake ana loro rak-rak, siji dawa kita sawing ing setengah, loro dadi limalas. Saka iki dadi metu sing kanggo noto iki bisa dadi P_30 = 30.

Conto solusi. Rumus kanggo nomer kombinasi saka

Sing dianggep varian saka masalah katelu saka Kombinatorika. Sampeyan kudu ngerti carane akeh cara ana kanggo ngatur limalas buku ing kondisi sing sampeyan kudu milih saka telung puluh persis padha.

Kanggo kaputusan bakal, mesthi, aplikasi rumus nomer kombinasi. Saka kondisi sing dadi cetha sing urutan limalas buku padha ora penting. Dadi pisanan sampeyan kudu mangerteni nomer total kombinasi saka telung puluh limalas buku.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Sing kabeh. Nggunakake rumus iki, ing wektu cedhak bisa kanggo ngatasi masalah kuwi, ing jawaban, mungguh, padha kanggo 155.117.520.

Conto solusi. Definisi klasik saka kemungkinan

Nggunakake rumus ingkang nginggahaké, siji bisa nemokake jawaban ing tugas prasaja. Nanging cetha bakal ndeleng lan tindakake mesthi saka tumindak.

tugas sing diwènèhaké sing ing urn ana sepuluh bal rampung podho rupo. Saka cacah iki mau, papat kuning lan enem biru. Dijupuk saka urn siji werni. Sampeyan perlu kanggo ngerti kemungkinan dostavaniya biru.

Kanggo ngatasi masalah iku perlu kanggo ngrancang dostavanie biru acara bal A. pengalaman iki uga duwe sepuluh kasil, kang, ing siji, SD lan merata kamungkinan. Ing wektu sing padha, enem saka sepuluh sing sarujuk kanggo acara A. Ngatasi rumus:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Nglamar rumus iki, kita wis sinau sing kamungkinan dostavaniya werni biru 0.6.

Conto solusi. Kemungkinan jumlah acara

Sing bakal dadi varian kang ditanggulangi kanthi nggunakake rumus saka kemungkinan jumlah acara. Dadi, diwenehi kondisi sing ana loro kasus, siji werna abu-abu lan limang bal putih, nalika kaloro - bal putih wolung werna abu-abu lan papat. Akibaté, ing kothak pisanan lan kapindho wis dijupuk ing salah siji saka wong-wong mau. Sampeyan perlu kanggo mangerteni apa sing kemungkinan sing kurang bal sing werna abu-abu lan putih.

Kanggo ngatasi masalah iki, iku perlu kanggo ngenali acara.

• Mangkono, A - kita duwe werni abu-abu ing kothak pisanan: P (A) = 1/6.
• A '- bohlam putih uga dijupuk saka kothak pisanan: P (A') = 5/6.
• The - werni abu-abu wis dijupuk saka terusan liya: P (B) = 2/3.
• B '- njupuk werni abu-abu ing laci liya: P (B') = 1/3.

Miturut masalah iku perlu salah siji saka gejala kedaden: AB 'utawa' B. Nggunakake rumus, kita diwenehi: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Saiki rumus pati Unus kemungkinan iki digunakake. Sabanjure, kanggo mangerteni jawaban, sampeyan kudu aplikasi rumus sing nambah:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Sing carane, nggunakake rumus, sampeyan bisa ngatasi masalah kuwi.

asil

kertas punika dipun informasi ing "téori peluang", kemungkinan acara sing duwé peran wigati. Mesti wae, ora kabeh wis dianggep, nanging ing basis saka teks presented, sampeyan miturut teori bisa njaluk kenalan karo cabang iki matématika. ilmu dianggep bisa migunani ora mung ing bisnis profesional, nanging uga ing saben dinten gesang. Sampeyan bisa nggunakake aplikasi iku kanggo ngetung kemungkinan saka acara.

Tèks iki uga kena pengaruh dening tanggal wujud ing sajarah perkembangan téori peluang minangka èlmu, lan jeneng saka wong kang karya wis sijine menyang. Sing carane penasaran manungsa wis mimpin kanggo kasunyatan sing wong wis sinau kanggo count, malah acara acak. Sawise padha mung kasengsem ing, nanging dina iki wis dikenal kanggo kabeh. Lan ora ana kang bisa ngomong apa bakal kelakon kanggo kita ing mangsa, apa panemon sarwa liyane sing gegandhengan teori ditliti, bakal setya. Nanging siji bab punika manawa - sinau isih ora worth iku!